О модальном анализе

Модальный анализ. В этой статье мы попробуем найти место модального анализа в изучении вибраций и тестировании технических объектов. Брюль и Къер уже давно ведет свои исследования и разработки в области различных методов модальных испытаний. С каждым годом разработчики и инженеры Bruel & Kjaer добавляют много новых опций в свое программное обеспечение, которые облегчают жизнь инженерам-испытателям. Итак начнем …

ВведениеИстория развития модального анализаПрактическое применение

Применяемые сокращения:
Амплитудно частотная характеристика (АЧХ),
это амплитудно частотный отклик системы на возбуждающее воздействие,
Во временных координатах этот отклик называется импульсным откликом
(IRs – Impulse Responses)

(FRF – Frequency Response Function), это отношение отклика к возбуждающей силе,
частотная передаточная функция

Введение.

Вибрации в реальных конструкциях и механизмах привлекают исследователей уже не один десяток лет.
Лекции по модальному анализу на YouTube, которые сейчас читает профессор Массачусетского Технологического Института, бьют рекорды популярности, вовлекая в эту сферу исследований новые силы. И это не дань моде, а требование времени. Это усвоение новых понятий и терминов, овладение аналитическим аппаратом, который раньше применялся в теории автоматического регулирования, теории матриц и функций комплексного переменного, преобразования Фурье и Лапласа.
Интерес этот во многом связан с тем, что техника все больше входит в нашу жизнь, помогая в одном, и нередко усложняя жизнь в другом. Приземляясь в аэропорту после хорошо проведенного отпуска, мы радуемся комфортности перелета, а в это же время испытывает мучения больной, над домом которого мы снижались перед посадкой, и он был разбужен шумом двигателей нашего самолета.
Радуясь быстрой поездке из дома до работы на метро, мы можем даже не догадываться, что наш поезд регулярно проходит под домом, который был построен задолго до метро и без учета возможности «сейсмических» воздействий, от поездов метрополитена. И хорошо, если последствия такого неучета выражаются только в недолговечности штукатурного покрытия стен и потолков.
Часто приходится прибегать к защите от шума проникающего через стены и перегородки квартир с помощью специальных стеновых покрытий, защищаться от уличного шума с помощью специальных экранов.

А есть ведь еще и шумы и вибрации внутри нас. «Прихватило» сердце, а идти в поликлинику на ЭКГ сегодня, значит сорвать важные переговоры и даже контракты. По совету друзей скачиваем из интернета приложение БПФ (быстрое преобразование Фурье) и приставляем микрофон мобильника к груди, с надеждой вглядываясь в экран анализатора. Но там частокол пиков, больших и малых и никаких надежд на диагноз…

Теоретики с давних пор увлекались решением волновых уравнений для конструкций с различными граничными условиями и приложенными внешними силами. Казалось, что освоение методов решения этих задач откроет путь к решению и практических задач в области вибрации и шума. Появление компьютеров, давало надежду на быстрое решение всех проблем в этой области. Ведь достаточно заменить производные конечными разностями и заставить вычислительную машину решить получившиеся уравнения, чтобы «увидеть» реальную динамическую картину на экране. Но слово увидеть не случайно взято здесь в кавычки. Вопрос интерпретации полученных огромных цифровых массивов данных и их применение к практике конструирования превратился в непреодолимую проблему. Человек оказался не готов «переварить» результаты решения этих задач и использовать их для нужд практики. Требовались новые понятия и новые концепции. Так что решением подобных задач в конечных разностях не занимаются сейчас даже студенты. Ведь их учат тому, что будет применяться на практике. А практика диктует свои подходы к решению задач вибрации.


Лет 10-15 назад считалось необходимым иметь дома тестер для измерения напряжения, тока, сопротивления, параметров транзисторов для быстрой диагностики и ремонта домашней электроники.
Но пришла миниатюризация и переход на чипы, ремонт стал осуществляться заменой отдельных модулей/блоков, и эра таких тестеров пришла к закату.
Насыщение дома бытовой техникой, появление в загородном доме кроме автомобиля еще и мотоцикла и яхты и дизель-генератора, а то и ветрового электрогенератора открыло новую эру, эру измерения шума и вибраций.
Конечно, измерениями эти попытки диагностики домашней техники можно назвать с большой натяжкой. Но некоторым умельцам даже при использовании в качестве датчика встроенного или внешнего микрофона смартфона и бесплатного приложения, выполняющего быстрое преобразование Фурье удавалось выполнить диагностику своего автомобиля. Впрочем, некоторым опытным механикам достаточно для постановки подобных диагнозов и таких анализаторов, как собственное ухо и палец.
Но сама по себе тенденция распространения компетенции проектировщиков таких механизмов в сферу интересов потребителей техники является бесспорной.
Запросы промышленного производства и обновление средств производства, включая средства испытаний и контроля привели к тому, что во многих технических вузах введены курсы, так или иначе связанные с анализом шума и вибраций.
Правда подход к изучению этих процессов весьма неоднороден. Преобладает формальное изучение интерфейса программных комплексов типа ANSYS без углубления в суть физических явлений. Метод конечных элементов формализован так, что не обязательно включать на полную мощность свой мозг. Такой подход может быть и приемлем при работе в больших проектно конструкторских организациях, разрабатывающих однотипные проекты, но при создании новой техники необходимы оперативные средства анализа, позволяющие производить многократные динамические расчеты и многовариантные корректировки конструкций с проведением экспериментальных динамических испытаний в условиях конструкторского макетирования с применением компактных анализаторов вибраций.
Идеология ANSYS кажется так же трудно совместимой с использованием операционного модального анализа, когда модальные характеристики определяются в условиях реально работающей конструкции без искусственного возбуждения вибрации.

Введение в модальный анализ.

В таких условиях более практичным и перспективным представляется подход, частично заимствованный из техники систем автоматического регулирования, где так же изучаются динамические системы, и разработан аналитический аппарат и имеется сложившаяся терминология, помогающие освоить его начинающим.
Динамические системы в механике всегда имеют бесконечное число степеней свободы и описываются системами дифференциальных уравнений в частных производных, решение которых методами конечных разностей, или конечных элементов возможно, но интерпретация таких решений и их практическое использование представляет собой большую проблему.
{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}=v^{2}\Delta u+f где Δ — трехмерный оператор Лапласа, а ν — коэффициент, описывающий физические свойства среды. Это уравнение не учитывает еще диссипативных свойств среды, приводящих к затуханию волн звука/вибрации, но и в таком варианте представляет определенные трудности для анализа в случае трехмерных конструкций со сложными граничными условиями.
Представление механических динамических систем в виде совокупности связанных между собой подсистем с одной степенью свободы и выбора в качестве образца таких подсистем модели линейного механического осциллятора с демпфирующим компонентом, определяющим затухание колебаний, дает сразу несколько преимуществ перед системами типа ANSYS.
Во первых, аналитическое решение уравнений, описывающих колебательный процесс в таком осцилляторе, позволяет хорошо понять суть применяемых терминов, и что в этих терминах от самого осциллятора, а что от математического аппарата, применяемого при анализе, например, полюс, мода, вычет.
Но главным преимуществом такого подхода является возможность построения так называемых параметрических моделей, в которых реальная динамическая система аппроксимируется системой простейших осцилляторов с параметрами, которые находятся в результате «подгонки» её поведения под поведение реальной системы с бесконечным числом степеней свободы.
А это уже не просто диагностика динамической системы, но и прогнозирование её поведения при различных вариантах динамики возбуждения и конструкционных вариантов.
Имеет смысл уделить время более подробному изучению модели выше упомянутого одномерного механического осциллятора.
Такая модель может быть представлена в идеализированном окружающем нас пространстве, в некоем зазеркалье, в котором может существовать пружина, обладающая упругостью (k), но не имеющая собственной массы (веса), может существовать масса (m), имеющая нулевые размеры, может существовать не имеющий собственной массы демпфер-поршень, который погружен в жидкость, создающую противодействие его движению, строго пропорциональное (коэффициент пропорциональности c) скорости движения.

базовый элемент модального анализа - 1-мерный осциллятор
Одномерный механический осциллятор

Для такой физической модели второй закон Ньютона будет записан в виде баланса сил инерции (mX″), упругости (kX) и демпфирования (cX’) с одной стороны и внешней, возбуждающей колебания, силы F(t) с другой.
mX″+cX’+kX = F(t)
Решение при отсутствии внешней силы имеет вид:
X=exp(-σt)(a*sinωt)+b*cosωt)
и показывает собственную частоту колебаний и декремент их затухания.
Выполнив преобразование Фурье, уравнение можно привести к виду:
F(ω) = – ω2mX(ω) + jω cX(ω) + kX(ω)
Отношение X(ω) к F(ω), логично считать откликом (по каналу перемещение/сила) системы на возбуждающее воздействие.
H(ω)=X(ω)/F(ω)=1/(– ω2m + jωc + k)
И то, что в этой функции содержатся только параметры системы и не содержится никакой информации о возбуждающей силе, лежит в основе модального анализа.
Понятие собственной частоты имеет простую физическую интерпретацию:
Будем прикладывать к массе медленно меняющуюся, возбуждающую колебания силу. При этом главную роль в динамике будет играть упругость пружины, так как инерционность при малых
ускорениях не существенна. И наоборот, если действовать на систему высокочастотной возбуждающей силой, то главную роль будет играть инерционность, противостоящая возбуждению.
Легко представить себе существование такой частоты, при которой инерционные силы уравновешиваются упругими, и тогда
колебания могут поддерживаться и без возбуждающей силы.
На этих частотах система обладает повышенной податливостью, и при возбуждающих силах, частота которых совпадает с собственной, колебания могут иметь опасно большие амплитуды.

Как это было сделано для механического осциллятора c одной степенью свободы (SDOF), отделить спектр системы от спектра силы возбуждения можно и для системы с многими степенями свободы (MDOF), если перейти к частотным координатам с помощью преобразования Фурье:
X(ω)=[H(ω)] F(ω)
А тут недалеко и до идеи получения частотной передаточной функции (FRF для отношения перемещения к силе) для реальных, а не идеализированных динамических систем,
имея в наличии двухканальный анализатор-преобразователь Фурье с функцией деления.
Достаточно приложить к системе возбуждающую силу, измерить её спектр F(ω) и, измерив спектр отклика на возбуждение X(ω), разделить вторую функцию на первую. В действительности в реальных анализаторах, например 2032/2034 B&K вычисляется дискретное быстрое преобразование Фурье и производятся дополнительные операции усреднения и применение так называемых взвешивающих функций, снижающих искажения, вызванные ограниченностью анализируемого интервала времени.
Уравнение в частотной области можно несколько усложнить умножением обеих его частей на комплексно сопряженную функцию F*
F*(ω) X(ω)=H(ω) F*(ω) F(ω)
тогда частотная передаточная функция отклика на возбуждающую силу F будет выглядеть так:
H(ω)=F*(ω) X(ω)/(F*(ω) F(ω) )
Такое представление имеет преимущества при практической обработке дискретных данных в конечном интервале времени, так как может опираться на реализованные в анализаторах B&K алгоритмы вычисления взаимного спектра возбуждающей силы и перемещения, а так же собственного спектра силы.
В реальных системах приходится проводить еще и оценки адекватности описания системы в рамках линейных моделей с помощью так называемой функции когерентности. Отклонение от линейности может быть вызвано не только физической нелинейностью поведения конструкции, но и присутствием некоррелируемых шумов на входе или/и выходе, недостаточно высоким разрешением дискретизации непрерывного сигнала, приводящим к просачиванию (Leakage) помех в полезный сигнал.

Снова вернемся к идеальной физической модели, чтобы увидеть другие возможности использования её представлений для реальных систем с большим числом степеней свободы.
Частотная передаточная функция
H(ω)=X(ω)/F(ω)=1/(– ω2m + jωc + k)
идеального механического осциллятора (FRF) может быть представлена в несколько странной на первый взгляд форме через координаты полюса p и вычет R функции комплексного переменного в точке полюса:

H(ω)=R /(jω -p) + R*/( jω -p*)

(символ * означает комплексно сопряженную величину)

R=-j/2ωˆ, p=-σ +jωˆ, ωˆ=√(ω²-β²)
(значок ˆ означает, что имеется в виду демпфированная частота, уменьшенная в результате действия демпфера).
Если учесть, что действительная часть координаты полюса σ составляет полуширину FRF-пика (на частотной характеристике) , а мнимая часть частоту колебаний, уменьшенную с учетом фактора затухания, то становится понятно, что эти FRF-характеристики имеет смысл применить и к реальным, а не только идеализированным условиям.
То же относится и к вычету передаточной функции. Он (поделенный на коэффициент затухания) определяет высоту пика.
Это эквивалентное представление FRF-функции только кажется мало относящимся к делу алгебраическим упражнением. В действительности в нем, как говорится, и зарыта собака.
Т.е. применяя линейную суперпозицию именно таких представлений FRF-функций в качестве модели, описывающей динамику реальных, а не идеализированных конструкций, можно надеяться на хорошее совпадение поведения модели, с поведением реальной конструкции.
В частности, можно показать, что линейная система с двумя степенями свободы описывается такой линейной суперпозицией абсолютно точно.
При этом обнаруживаются замечательные свойства таких моделей, упрощающих их практическое применение при использовании анализаторов спектра вибраций и шума. Имеется в виду глобальный для конструкции характер модальных частот и характеристик затухания. От точки к точке конструкции меняются только амплитуда и фаза колебаний.

Модой колебаний реальной структуры называют характерное распределение смещений точек структуры, при котором смещение каждого участка ее поверхности происходит по типу простого гармонического колебания с одной и той же для всех точек структуры частотой. Эта частота называется собственной частотой и не зависит от того каким способом вызваны эти колебания. Еще одним параметром, так же не меняющимся от точки к точке, является коэффициент затухания колебаний. А вот фаза колебаний и их амплитуда будут меняться в широких пределах

Параметры затухания и частоты определяются свойствами динамической системы и не зависят от того, как колебания возбуждаются.
Если возбуждать колебания структуры синусойдой, близкой по частоте к собственной, вся структура будет колебаться с этой частотой, ни одна из точек не будет «отставать от моды», различия для разных точек по фазе при этом могут достигать 180 градусов.
Эти важнейшие для практики аналитические достижения сделали модальный анализ хорошей альтернативой прямому применению метода конечных элементов, а уж о методе конечных разностей говорить просто не приходится.

Важным для практики результатом таких моделей является то, что они позволяют построить характеристику сложной динамической системы, которую будем называть частотной функцией отклика
Frequance Responce Function (FRF).

(название этой функции не всегда одинаково даже в англоязычных публикациях, на пример,
transmissibility function встречается в японской литературе, что будет соответствовать термину передаточная функция, общепринятому в статьях по системам автоматического регулирования в РФ.
В механике эту функцию у нас часто называют амплитудно частотной характеристикой — АЧХ, опуская из названия слово Responce-отклик, что по мнению некоторых специалистов несколько затушевывает ей смысл.)

С помощью этой функции в частности можно найти собственные колебательные моды в любой точке конструкции и оценить риски совпадения собственных частот с пиками спектра возбуждающей колебания силы.

С помощью этой функции решается проблема, которую невозможно решить в рамках обычного частотного анализа. Если в конструкции произошли усталостные изменения или возникли механические дефекты, трещины, они могут проявиться в изменении картины пиков на частотной характеристике, хотя внешне конструкция не претерпела изменений. Но подобные изменения в спектре могут быть вызваны и изменившимся спектром возбуждающей колебания силы, поскольку результирующий сигнал при этом будет представлять собой произведение функции отклика конструкции и спектра возбуждающей колебания силы, амплитудные и частотные характеристики которой нам точно не известны. Такой анализ не будет давать достаточно адекватную информацию о характеристиках исследуемой конструкции, даже если данные синхронизируются с каким либо дополнительным сигналом, например, тахометра, как это имеет место при анализе вибрации вращающихся деталей.
Это подчеркивает важность метода анализа систем с сосредоточенными параметрами, в котором рассчитывается отношение отклика к вызвавшей его измеряемой силе, возбуждающей колебания. (Альтернативный вариант операционного модального анализа, когда не происходит искусственного возбуждения колебаний, требует отдельного рассмотрения.)

Вычисление частотной передаточной функции (FRF) на множестве точек измерения позволяет избавиться от влияния спектра возбуждающей силы на динамический портрет конструкции и получить
присущий самой структуре спектр отклика в точках измерения, опирающийся для каждой из них на множество точек приложения возбуждающей силы.
Это объективная характеристика, которая не зависит от того, испытывает конструкция какие либо возбуждающие нагрузки, или нет.
Проведя такие измерения спектральной функции отклика (передаточной функции) (FRF) на множестве определенных точек конструкции при возбуждении, сканирующем поочередно то же самое множество точек, можно выстроить общую картину её потенциально возможного отклика на возбуждающие силы.
Можно пойти дальше и построить линейную динамическую модель, которая позволит предсказывать динамическое поведение конструкции при изменившихся внешних условиях, включая возбуждающие силы.
Современные двухканальные анализаторы, производящие быстрое (дискретное) преобразование Фурье, позволяют так же дать оценку качества таких моделей с точки зрения адекватности линейной аппроксимации (уже упомянутая выше функция когерентности).

Практические примеры применения модального анализа.

Не следует думать, что все сказанное лишь чистая теория. Вот пример, когда теория может предотвратить возможную катастрофу.
Организация арендовала давно пустующий второй этаж торгового центра и решила открыть там производство, связанное с очисткой и подготовкой воды. При этом на полу помещения предполагалось установить электрические насосы, создающие на междуэтажное
перекрытие возбуждающую нагрузку с частотой 50Гц.
Проектировщики здания, оценивали лишь первую собственную частоту
колебаний плиты и нашли её равной 4.7Гц. Более высокие частоты не анализировались, потому что здание предназначалось под торговый центр и расположено в сейсмически безопасном районе.
А если бы более высокие частоты анализировались, то выяснилось бы их наличие, в частности, вблизи 50Гц.
Т.е. эксплуатация насосного оборудования без конструкционной коррекции была чревата риском обрушения потолка и даже жертвами на первом этаже здания. Поэтому надзорные органы не дали разрешения на установку насосного оборудования. Арендатору оставалось или отказаться от своего проекта, или поставить специальные, возможно даже активные гасители вибраций, сопоставив затраты на гашение вибраций с экономичностью своего проекта.
Как выяснилось, добиться разрешения на установку насосов не удалось в течение многих месяцев, даже при том, что в проект были внесены существенные изменения.

Владение методами модального анализа необходимо не только проектировщикам/конструкторам из
отраслевых НИИ и КБ, но и малым предприятиям. От этого зависит сегодня технический прогресс и развитие экономики.
Как когда то в США технические новинки, включая компьютеры, рождались в гаражах, так сейчас в РФ технические решения многих задач ищутся в рамках Старт-Ап-ов в условиях ограниченных материальных ресурсов, зато с безграничным энтузиазмом разработчиков.
Предположим, что логистическая компания решила организовать
доставку небольших грузов с помощью беспилотников в условиях сельской местности, небольших городов.
Для решения задачи оказалось проще самим спроектировать и напечатать на 3D принтере такой летательный аппарат, чем ждать, когда они появятся на рынке. Тем более, что помимо двигателя
в этом аппарате должно быть багажное отделение с функцией эвакуации содержимого по сигналу с Земли.

Важным параметром конструкции является её вес. От него будет зависеть дальность доставки и максимально возможный вес груза. Поэтому избыточный запас прочности является здесь непозволительной роскошью. Наряду со статическим прочностным расчетом
(теория сопротивления материалов) необходим и динамический анализ конструкций. К сожалению расчеты в этой области не являются пока полностью формализованными.
От оператора требуется определенный опыт при выборе точек измерения и числа анализируемых мод колебаний.
Казалось бы нужно выбирать максимальное число мод колебаний и точек измерения.
Ведь реальная конструкция является объектом с распределенным параметрами, а значит с неограниченным числом мод колебаний.
Но появление вследствие этого большого числа пиков в частотной характеристике может только затруднить объективный анализ динамики объекта, так как свой вклад в спектральные характеристики
могут внести второстепенные элементы конструкции и даже точность дискретизации сигнала.
При практическом анализе не всегда подойдут уже вошедшие в учебники примеры применения модального анализа, например, для исследования колебаний высотного здания под действием ветра и сейсмических воздействий (страница 12). Даже выбор возбудителей вибрации и акселерометров не является совсем простым. Ведь одно дело — возбуждать вибрации вибростендом на крыше небоскреба, и другое — колебания крыла миниатюрного беспилотника.
Рассмотренный ниже схематический пример не типичного действительно проведенного модального анализа, возможно, будет полезен и в других технических проектах на стадиях Старт-Ап-а.
(Обычно на этих стадиях разработки приходится экономить ресурсы, и немногим разработчикам доступна покупка современных систем, поддерживающих ПО типа https://www.bksv.com/-/media/literature/Product-Data/bp2127.ashx, а более доступные анализаторы типа 3560 B&K уже сняты с производства.
К сожалению, это типичная ситуация, присущая не только продуктам B&K. Между Старт-Ап-ом и компанией класса B&K должен находится еще и посредник, передающий современную аппаратуру разработчику в аренду или лизинг )
Для динамического анализа крыла беспилотника, имеющего форму трапеции, оно было закреплено неподвижно широким концом (примыкающим в конструкции к корпусу беспилотника) и таким образом можно было применить уже хорошо освоенный метод анализа мод колебаний консоли. Но вес этой консоли оказался настолько мал, что только применение самых миниатюрных датчиков вибрации (акселерометров) не искажало существенно динамическую картину колебаний конструкции.
Так же не простой оказалась задача возбуждения колебаний источником близким по спектру к случайному.
Первоначально предполагалось использовать устройство (MM-0002 для возбуждения, но крыло выполнено из пластика, и компоновка его ферромагнитными накладками создавало дополнительную проблему. Пришлось возбуждать колебания сжатым воздухом, поток которого в трубке, направляющей его на точку возбуждения, модулировался электропневмоклапаном, управляемым случайным сигналом. Фактически пришлось использовать два электропневмоклапана и два резервуара с воздухом, один с давлением +P относительно атмосферного, а другой с давлением (разрежением) -P, чтобы обнулить среднее значение случайной возбуждающей силы.
Первоначально для измерения вибрации в заданных точках (их было 4) использовался лазерный датчик вибрации на эффекте Доплера, но его конструкция оказалась не очень удобной для перемещения, а покупать 4 датчика и устанавливать их стационарно экономически не целесообразно. Поэтому был выбран миниатюрный датчик измерения вибрации B&K модели 4520

виброметр/акселерометр 420 весом менее 3г
Миниатюрный акселерометр/виброметр весом менее 3г

весом менее 3г (4 акселерометра, устанавливаемые стационарно).
Далее проводился классический модальный анализ.
«Сжатый» воздух подводился с помощью гибкого шланга с тонким наконечником, который закреплялся с помощью клипсы на ползунке оптической скамьи, расположенной на столе под исследуемым крылом.
Такая схема позволяла провести измерения в произвольном числе точек крыла
с возбуждением в произвольном числе точек возбуждения. Но использование большего, чем четыре числа точек оказалось ненужным. Это было подтверждено пробными экспериментами, показывающими отсутствие дополнительных мод при возбуждении в промежуточных точках.
Измерения проводились последовательно. Сигналы с датчиков вибрации 4520 снимались последовательно с 1-ого, 2-ого, 3-го и 4-го датчиков на крыле. Для каждого положения датчика возбудитель вибрации (патрубок, подводящий пульсирующий «сжатый» газ) перемещался по скамье с первой по четвертую позицию и таким образом была построена матрица реализаций откликов.
Для анализа мод и построения матрицы функций частотного отклика (FRF) использовался
анализатор с двумя входами 2034 B&K.
Экспериментаторы «открыли» в результате (уже хорошо известное до них) свойство симметрии полученной FRF-матрицы, получили результаты для конструирования крыла в натуральную величину с учетом рисков совпадения модальных частот и частот внешних нагрузок.
Аппетит приходит во время еды. Появился интерес к перспективам построения параметрической модальной модели крыла с использованием модальных характеристик конструкции. Для начала все измерения были проведены заново с использованием анализатора 3560. Удалось проанализировать не только первые моды колебаний, но и найти более высокочастотные резонансы, которые могли быть опасны при возбуждении колебаний двигателем беспилотника. Особенно удобной оказалась технология «windows-b&k», в которой можно было с помощью выбираемой оператором весовой функции сделать zoom для участка частотной характеристики, с целью более детального исследования характеристик узкого пика, более точного определения параметра демпфирования колебательного процесса для данной моды, и даже возврата этого участка частотной характеристики обратно во временные координаты с целью дополнительного изучения.
Применение таких весовых функций может привносить дополнительные погрешности в частотные характеристики. Для случая экспоненциальной весовой функции такую погрешность оказалось возможным полностью устранить. Это позволяет существенно более точно определять параметры демпфирования колебаний моды, особенно при возбуждении колебаний специальным молотком с измерением силы удара.

Формы мод колебаний
Построение форм колебательных мод по результатам модального анализа

Модальный анализ системы с двумя степенями свободы
Частотная передаточная (FRF) функция для системы из двух масс с пружинками

Особенно впечатляет возможность таких систем продемонстрировать те самые загадочные формы мод, которые до этого оставались в некотором тумане.
Метод построения формы мод Quadrature Picking (снятие значений мнимой части функции ) основан на том, что моды колебаний слабо связаны, так что пики по оси частоты разделены и не перекрываются. Фактически вклад в смещение структуры при модальной частоте вносит только сама мода, соответствующая этой частоте, остальные моды на этой частоте затухают. Тогда измеряя амплитуду смещения при какой либо собственной (модальной) частоте и откладывая её по оси, параллельной направлению возбуждающих сил, мы получаем множество точек, (по числу точек измерения (DOF),) которое аппроксимирует деформацию колеблющейся структуры (пунктирная линия). Эти картины деформации можно из качественных превратить в количественные, если провести дополнительное измерение возбуждающей силы и вызванного ею отклонения поверхности структуры в одной и той же точке.
Было бы неверным считать, что так же просто можно проанализировать планер настоящего большого самолета, выдать рекомендации конструкторам, хотя часто таким анализом сами конструкторы теперь и занимаются.
Ведь даже для системы, состоящей из двух масс и трех пружинок двигающихся по прямой линии аналитическое решение системы уравнений движения показывает наличие трех пиков частотной передаточной функции H(f).
При некоторых значениях физических параметров два из трех пиков могут быть расположены столь близко, что при экспериментальных исследованиях их можно принять за один. Такие упущения можно допустить, когда имеешь дело с игрушкой вроде двух масс с тремя пружинками, но неизвестно, к каким последствиям это может привести при проектировании реальных объектов. Поэтому задача детального выявления собственных частот конструкции требует тщательного решения. Как оказывается частотная передаточная функция FRF не является наилучшим индикатором наличия собственных частот. Существуют и другие MIF (Moda Indicating Function), которые лучше справляются с задачей разделения близко расположенных пиков. Некоторые из этих функций встроены в программное обеспечение анализаторов PULSE REFLEX.
Эти функции не являются чем то новым в модальном анализе, они являются модификациями FRF, например, PMIF получается из FRF , выбирая только квадраты действительной или мнимой частей, или их суммы:
Применяется так же так называемое сингулярное разложение FRF-матрицы CMIF, с помощью которого можно добиться существенного разделения близких пиков. Со временем могут появиться еще более удачные варианты преобразования FRF для разделения близких мод и почти повторяющихся полюсов. Но лучше всего на практике перебрать все из них, особенно из тех, что уже заложены в ПО Анализатора.
Наибольшую пользу модальный анализ приносит, когда по данным эксперимента построена адекватная реальной структуре математическая модальная модель. В этой модели предполагается, что модальные параметры подобраны таким образом, чтобы частотная передаточная (FRF) функция как можно меньше отклонялась от экспериментальных данных, или экспериментально найденные значения ложились как можно ближе к теоретической модельной кривой. Для решения этой задачи можно использовать хорошо разработанную технику типа метода наименьших квадратов, а для построения модели не ограничиваться классической суммой FRF отдельных осцилляторов, а применять также и полиномиальную аппроксимацию и отношение полиномов и даже экспоненциальную (комплексную) во временных координатах.

Как мы можем Вам помочь?

Я хотел бы*
Меня зовут*
Организация
Город
Телефон*
E-mail*


 


 




* Заполняя эту форму Вы соглашаетесь на обработку персональных данных.
Подробнее о политикн конфиденциальности и обработке персональных данных